Когда импульс равен 0. Импульс тела. Импульс силы. Закон сохранения импульса. Замкнутая система тел

Законы Ньютона позволяют решать различные практически важные задачи, касающиеся взаимодействия и движения тел. Большое число таких задач связано, например, с нахождением ускорения движущегося тела, если известны все действующие на это тело силы. А затем по ускорению определяют и другие величины (мгновенную скорость, перемещение и др.).

Но часто бывает очень сложно определить действующие на тело силы. Поэтому для решения многих задач используют ещё одну важнейшую физическую величину - импульс тела.

Импульсом тела р называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость

Импульс - векторная величина. Направление вектора импульса тела всегда совпадает с направлением вектора скорости движения.

За единицу импульса в СИ принимают импульс тела массой 1 кг, движущегося со скоростью 1 м/с. Значит, единицей импульса тела в СИ является 1 кг м/с.

При расчётах пользуются уравнением для проекций векторов: р х = mv x .

В зависимости от направления вектора скорости по отношению к выбранной оси X проекция вектора импульса может быть как положительной, так и отрицательной.

Слово «импульс» (impulsus) в переводе с латинского означает «толчок». В некоторых книгах вместо термина «импульс» используется термин «количество движения».

Эта величина была введена в науку примерно в тот же период времени, когда Ньютоном были открыты законы, названные впоследствии его именем (т. е. в конце XVII в.).

При взаимодействии тел их импульсы могут изменяться. В этом можно убедиться на простом опыте.

Два шарика одинаковой массы подвешивают на нитяных петлях к укреплённой на кольце штатива деревянной линейке, как показано на рисунке 44, а.

Рис. 44. Демонстрация закона сохранения импульса

Шарик 2 отклоняют от вертикали на угол а (рис. 44, б) и отпускают. Вернувшись в прежнее положение, он ударяет по шарику 1 и останавливается. При этом шарик 1 приходит в движение и отклоняется на тот же угол а (рис. 44, в).

В данном случае очевидно, что в результате взаимодействия шаров импульс каждого из них изменился: на сколько уменьшился импульс шара 2, на столько же увеличился импульс шара 1.

Если два или несколько тел взаимодействуют только между собой (т. е. не подвергаются воздействию внешних сил), то эти тела образуют замкнутую систему.

Импульс каждого из тел, входящих в замкнутую систему, может меняться в результате их взаимодействия друг с другом. Но

векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых движениях и взаимодействиях этих тел

В этом заключается закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса выполняется и в том случае, если на тела системы действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулю. Покажем это, воспользовавшись для вывода закона сохранения импульса вторым и третьим законами Ньютона. Для простоты рассмотрим систему, состоящую только из двух тел - шаров массами m 1 и m 2 , которые движутся прямолинейно навстречу друг другу со скоростями v 1 и v 2 (рис. 45).

Рис. 45. Система из двух тел - шаров, движущихся прямолинейно навстречу друг другу

Силы тяжести, действующие на каждый из шаров, уравновешиваются силами упругости поверхности, по которой они катятся. Значит, действие этих сил можно не учитывать. Силы сопротивления движению в данном случае малы, поэтому их влияние мы тоже не будем учитывать. Таким образом, можно считать, что шары взаимодействуют только друг с другом.

Из рисунка 45 видно, что через некоторое время шары столкнутся. Во время столкновения, длящегося в течение очень короткого промежутка времени t, возникнут силы взаимодействия F 1 и F 2 , приложенные соответственно к первому и второму шару. В результате действия сил скорости шаров изменятся. Обозначим скорости шаров после соударения буквами v 1 и v 2 .

В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия шаров равны по модулю и направлены в противоположные стороны:

По второму закону Ньютона каждую из этих сил можно заменить произведением массы и ускорения, полученного каждым из шаров при взаимодействии:

m 1 а 1 = -m 2 а 2 .

Ускорения, как вы знаете, определяются из равенств:

Заменив в уравнении для сил ускорения соответствующими выражениями, получим:

В результате сокращения обеих частей равенства на t получим:

m1(v" 1 - v 1) = -m 2 (v" 2 - v 2).

Сгруппируем члены этого уравнения следующим образом:

m 1 v 1 " + m 2 v 2 " = m 1 v 1 = m 2 v 2 . (1)

Учитывая, что mv = p, запишем уравнение (1) в таком виде:

P" 1 + Р" 2 = P 1 + Р 2 .(2)

Левые части уравнений (1) и (2) представляют собой суммарный импульс шаров после их взаимодействия, а правые - суммарный импульс до взаимодействия.

Значит, несмотря на то, что импульс каждого из шаров при взаимодействии изменился, векторная сумма их импульсов после взаимодействия осталась такой же, как и до взаимодействия.

Уравнения (1) и (2) являются математической записью закона сохранения импульса.

Поскольку в данном курсе рассматриваются только взаимодействия тел, движущихся вдоль одной прямой, то для записи закона сохранения импульса в скалярной форме достаточно одного уравнения, в которое входят проекции векторных величин на ось X:

m 1 v" 1x + m 2 v" 2х = m 1 v 1x + m 2 v 2x .

Вопросы

Что называют импульсом тела?
Что можно сказать о направлениях векторов импульса и скорости движущегося тела?
Расскажите о ходе опыта, изображённого на рисунке 44. О чём он свидетельствует?
Что означает утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую систему?
Сформулируйте закон сохранения импульса.
Для замкнутой системы, состоящей из двух тел, запишите закон сохранения импульса в виде уравнения, в которое входили бы массы и скорости этих тел. Поясните, что означает каждый символ в этом уравнении.

Упражнение 20

Две игрушечные заводные машины, массой по 0,2 кг каждая, движутся прямолинейно навстречу друг другу. Скорость каждой машины относительно земли равна 0,1 м/с. Равны ли векторы импульсов машин; модули векторов импульсов? Определите проекцию импульса каждой из машин на ось X, параллельную их траектории.
На сколько изменится (по модулю) импульс автомобиля массой 1 т при изменении его скорости от 54 до 72 км/ч?
Человек сидит в лодке, покоящейся на поверхности озера. В какой-то момент он встаёт и идёт с кормы на нос. Что произойдёт при этом с лодкой? Объясните явление на основе закона сохранения импульса.
Железнодорожный вагон массой 35 т подъезжает к стоящему на том же пути неподвижному вагону массой 28 т и автоматически сцепляется с ним. После сцепки вагоны движутся прямолинейно со скоростью 0,5 м/с. Какова была скорость вагона массой 35 т перед сцепкой?

Импульс - это одна из самых фундаментальных характеристик физической системы. Импульс замкнутой системы сохраняется при любых происходящих в ней процессах.

Знакомство с этой величиной начнем с простейшего случая. Импульсом материальной точки массы движущейся со скоростью называется произведение

Закон изменения импульса. Из этого определения можно с помощью второго закона Ньютона найти закон изменения импульса частицы в результате действия на нее некоторой силы Изменяя скорость частицы, сила изменяет и ее импульс: . В случае постоянной действующей силы поэтому

Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех действующих на нее сил. При постоянной силе промежуток времени в (2) может быть взят любым. Поэтому для изменения импульса частицы за этот промежуток справедливо

В случае изменяющейся со временем силы весь промежуток времени следует разбить на малые промежутки в течение каждого из которых силу можно считать постоянной. Изменение импульса частицы за отдельный промежуток вычисляется по формуле (3):

Полное изменение импульса за весь рассматриваемый промежуток времени равно векторной сумме изменений импульса за все промежутки

Если воспользоваться понятием производной, то вместо (2), очевидно, закон изменения импульса частицы записывается как

Импульс силы. Изменение импульса за конечный промежуток времени от 0 до выражается интегралом

Величина, стоящая в правой части (3) или (5), называется импульсом силы. Таким образом, изменение импульса Др материальной точки за промежуток времени равно импульсу силы, действовавшей на него в течение этого промежутка времени.

Равенства (2) и (4) представляют собой в сущности другую формулировку второго закона Ньютона. Именно в таком виде этот закон и был сформулирован самим Ньютоном.

Физический смысл понятия импульса тесно связан с имеющимся у каждого из нас интуитивным или почерпнутым из повседневного опыта представлением о том, легко ли остановить движущееся тело. Значение здесь имеют не скорость или масса останавливаемого тела, а то и другое вместе, т. е. именно его импульс.

Импульс системы. Понятие импульса становится особенно содержательным, когда оно применяется к системе взаимодействующих материальных точек. Полным импульсом Р системы частиц называется векторная сумма импульсов отдельных частиц в один и тот же момент времени:

Здесь суммирование выполняется по всем входящим в систему частицам, так что число слагаемых равно числу частиц системы.

Внутренние и внешние силы. К закону сохранения импульса системы взаимодействующих частиц легко прийти непосредственно из второго и третьего законов Ньютона. Силы, действующие на каждую из входящих в систему частиц, разобьем на две группы: внутренние и внешние. Внутренняя сила - это сила, с которой частица действует на Внешняя сила - это сила, с которой действуют на частицу все тела, не входящие в состав рассматриваемой системы.

Закон изменения импульса частицы в соответствии с (2) или (4) имеет вид

Сложим почленно уравнения (7) для всех частиц системы. Тогда в левой части, как следует из (6), получим скорость изменения

полного импульса системы Поскольку внутренние силы взаимодействия между частицами удовлетворяют третьему закону Ньютона:

то при сложении уравнений (7) в правой части, где внутренние силы встречаются только парами их сумма обратится в нуль. В результате получим

Скорость изменения полного импульса равна сумме внешних сил, действующих на все частицы.

Обратим внимание на то, что равенство (9) имеет такой же вид, как и закон изменения импульса одной материальной точки, причем в правую часть входят только внешние силы. В замкнутой системе, где внешние силы отсутствуют, полный импульс Р системы не изменяется независимо от того, какие внутренние силы действуют между частицами.

Полный импульс не меняется и в том случае, когда действующие на систему внешние силы в сумме равны нулю. Может оказаться, что сумма внешних сил равна нулю только вдоль какого-то направления. Хотя физическая система в этом случае и не является замкнутой, составляющая полного импульса вдоль этого направления, как следует из формулы (9), остается неизменной.

Уравнение (9) характеризует систему материальных точек в целом, но относится к определенному моменту времени. Из него легко получить закон изменения импульса системы за конечный промежуток времени Если действующие внешние силы неизменны в течение этого промежутка, то из (9) следует

Если внешние силы изменяются со временем, то в правой части (10) будет стоять сумма интегралов по времени от каждой из внешних сил:

Таким образом, изменение полного импульса системы взаимодействующих частиц за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов внешних сил за этот промежуток.

Сравнение с динамическим подходом. Сравним подходы к решению механических задач на основе уравнений динамики и на основе закона сохранения импульса на следующем простом примере.

щенный с сортировочной горки железнодорожный вагон массы движущийся с постоянной скоростью сталкивается с неподвижным вагоном массы и сцепляется с ним. С какой скоростью движутся сцепленные вагоны?

Нам ничего не известно о силах, с которыми взаимодействуют вагоны во время столкновения, кроме того факта, что на основании третьего закона Ньютона они в каждый момент равны по модулю и противоположны по направлению. При динамическом подходе необходимо задаваться какой-то моделью взаимодействия вагонов. Простейшее возможное предположение - что силы взаимодействия постоянны в течение всего времени, пока происходит сцепка. В таком случае с помощью второго закона Ньютона для скоростей каждого из вагонов спустя время после начала сцепки можно написать

Очевидно, что процесс сцепки заканчивается, когда скорости вагонов становятся одинаковыми. Предположив, что это произойдет спустя время х, имеем

Отсюда можно выразить импульс силы

Подставляя это значение в любую из формул (11), например во вторую, находим выражение для конечной скорости вагонов:

Конечно, сделанное предположение о постоянстве силы взаимодействия вагонов в процессе их сцепки весьма искусственно. Использование более реалистичных моделей приводит к более громоздким расчетам. Однако в действительности результат для конечной скорости вагонов не зависит от картины взаимодействия (разумеется, при условии, что в конце процесса вагоны сцепились и движутся с одной и той же скоростью). Проще всего в этом убедиться, используя закон сохранения импульса.

Поскольку никакие внешние силы в горизонтальном направлении на вагоны не действуют, полный импульс системы остается неизменным. До столкновения он равен импульсу первого вагона После сцепки импульс вагонов равен Приравнивая эти значения, сразу находим

что, естественно, совпадает с ответом, полученным на основе динамического подхода. Использование закона сохранения импульса позволило найти ответ на поставленный вопрос с помощью менее громоздких математических выкладок, причем этот ответ обладает большей общностью, так как при его получении не использовалась какая бы то ни было конкретная модель взаимодействия.

Проиллюстрируем применение закона сохранения импульса системы на примере более сложной задачи, где уже выбор модели для динамического решения затруднителен.

Задача

Разрыв снаряда. Снаряд разрывается в верхней точке траектории, находящейся на высоте над поверхностью земли, на два одинаковых осколка. Один из них падает на землю точно под точкой разрыва спустя время Во сколько раз изменится расстояние от этой точки по горизонтали, на которое улетит второй осколок, по сравнению с расстоянием, на котором упал бы неразорвавшийся снаряд?

Решение, Прежде всего напишем выражение для расстояния на которое улетел бы неразорвавшийся снаряд. Так как скорость снаряда в верхней точке (обозначим ее через направлена горизонтально, то расстояние равно произведению и на время падения с высоты без начальной скорости, равное на которое улетел бы неразорвавшийся снаряд. Так как скорость снаряда в верхней точке (обозначим ее через направлена горизонтально, то расстояние равно произведению на время падения с высоты без начальной скорости, равное тела, рассматриваемого как система материальных точек:

Разрыв снаряда на осколки происходит почти мгновенно, т. е. разрывающие его внутренние силы действуют в течение очень короткого промежутка времени. Очевидно, что изменением скорости осколков под действием силы тяжести за столь короткий промежуток времени можно пренебречь по сравнению с изменением их скорости под действием этих внутренних сил. Поэтому, хотя рассматриваемая система, строго говоря, не является замкнутой, можно считать, что ее полный импульс при разрыве снаряда остается неизменным.

Из закона сохранения импульса можно сразу выявить некоторые особенности движения осколков. Импульс - векторная величина. До разрыва он лежал в плоскости траектории снаряда. Поскольку, как сказано в условии, скорость одного из осколков вертикальна, т. е. его импульс остался в той же плоскости, то и импульс второго осколка также лежит в этой плоскости. Значит, и траектория второго осколка останется в той же плоскости.

Далее из закона сохранения горизонтальной составляющей полного импульса следует, что горизонтальная составляющая скорости второго осколка равна ибо его масса равна половине массы снаряда, а горизонтальная составляющая импульса первого осколка по условию равна нулю. Поэтому горизонтальная дальность полета второго осколка от

места разрыва равна произведению на время его полета. Как найти это время?

Для этого вспомним, что вертикальные составляющие импульсов (а следовательно, и скоростей) осколков должны быть равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Время полета интересующего нас второго осколка зависит, очевидно, от того, вверх или вниз направлена вертикальная составляющая его скорости в момент разрыва снаряда (рис. 108).

Рис. 108. Траектория осколков после разрыва снаряда

Это легко выяснить, сравнив данное в условии время отвесного падения первого осколка с временем свободного падения с высоты А. Если то начальная скорость первого осколка направлена вниз, а вертикальная составляющая скорости второго - вверх, и наоборот (случаи а и на рис. 108). Под углом а к вертикали в ящик влетает пуля со скоростью и и почти мгновенно застревает в песке. Ящик приходит в движение, а затем останавливается. Сколько времени продолжалось движение ящика? Отношение массы пули к массе ящика равно у. При каких условиях ящик вообще не сдвинется?

2. При радиоактивном распаде покоившегося первоначально нейтрона образуются протон, электрон и антинейтрино. Импульсы протона и электрона равны а угол между ними а. Определите импульс антинейтрино.

Что называется импульсом одной частицы и импульсом системы материальных точек?

Сформулируйте закон изменения импульса одной частицы и системы материальных точек.

Рис. 109. К определению импульса силы из графика

Почему внутренние силы не входят явно в закон изменения импульса системы?

В каких случаях законом сохранения импульса системы можно пользоваться и при наличии внешних сил?

Какие преимущества дает использование закона сохранения импульса по сравнению с динамическим подходом?

Когда на тело действует переменная сила ее импульс определяется правой частью формулы (5) - интегралом от по промежутку времени, в течение которого она действует. Пусть нам дан график зависимости (рис. 109). Как по этому графику определить импульс силы для каждого из случаев а и

Второй закон Ньютона \(~m \vec a = \vec F\) можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в его главном труде «Математические начала натуральной философии».

Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила, то постоянным является и ускорение

\(~\vec a = \frac{\vec \upsilon_2 - \vec \upsilon_1}{\Delta t}\) ,

где \(~\vec \upsilon_1\) и \(~\vec \upsilon_2\) - начальное и конечное значения скорости тела.

Подставив это значение ускорения во второй закон Ньютона, получим:

\(~\frac{m \cdot (\vec \upsilon_2 - \vec \upsilon_1)}{\Delta t} = \vec F\) или \(~m \vec \upsilon_2 - m \vec \upsilon_1 = \vec F \Delta t\) . (1)

В этом уравнении появляется новая физическая величина - импульс материальной точки.

Импульсом материальной точки называют величину равную произведению массы точки на ее скорость.

Обозначим импульс (его также называют иногда количеством движения) буквой \(~\vec p\) . Тогда

\(~\vec p = m \vec \upsilon\) . (2)

Из формулы (2) видно, что импульс - векторная величина. Так как m > 0, то импульс имеет то же направление, что и скорость.

Единица импульса не имеет особого названия. Ее наименование получается из определения этой величины:

[p ] = [m ] · [υ ] = 1 кг · 1 м/с = 1 кг·м/с.

Другая форма записи второго закона Ньютона

Обозначим через \(~\vec p_1 = m \vec \upsilon_1\) импульс материальной точки в начальный момент интервала Δt , а через \(~\vec p_2 = m \vec \upsilon_2\) - импульс в конечный момент этого интервала. Тогда \(~\vec p_2 - \vec p_1 = \Delta \vec p\) есть изменение импульса за время Δt . Теперь уравнение (1) можно записать так:

\(~\Delta \vec p = \vec F \Delta t\) . (3)

Так как Δt > 0, то направления векторов \(~\Delta \vec p\) и \(~\vec F\) совпадают.

Согласно формуле (3)

изменение импульса материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет такое же направление, как и сила.

Именно так был впервые сформулирован второй закон Ньютона .

Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы . Не надо путать импульс \(~m \vec \upsilon\) материальной точки и импульс силы \(\vec F \Delta t\) . Это совершенно разные понятия.

Уравнение (3) показывает, что одинаковые изменения импульса материальной точки могут быть получены в результате действия большой силы в течение малого интервала времени или малой силы за большой интервал времени. Когда вы прыгаете с какой-то высоты, то остановка вашего тела происходит за счет действия силы со стороны земли или пола. Чем меньше продолжительность столкновения, тем больше тормозящая сила. Для уменьшения этой силы надо, чтобы торможение происходило постепенно. Вот почему при прыжках в высоту спортсмены приземляются на мягкие маты. Прогибаясь, они постепенно тормозят спортсмена. Формула (3) может быть обобщена и на тот случай, когда сила меняется во времени. Для этого весь промежуток времени Δt действия силы надо разделить на столь малые интервалы Δt i , чтобы на каждом из них значение силы без большой ошибки можно было считать постоянным. Для каждого малого интервала времени справедлива формула (3). Суммируя изменения импульсов за малые интервалы времени, получим:

\(~\Delta \vec p = \sum^{N}_{i=1}{\vec F_i \Delta t_i}\) . (4)

Символ Σ (греческая буква «сигма») означает «сумма». Индексы i = 1 (внизу) и N (наверху) означают, что суммируется N слагаемых.

Для нахождения импульса тела поступают так: мысленно разбивают тело на отдельные элементы (материальные точки), находят импульсы полученных элементов, а потом их суммируют как векторы.

Импульс тела равен сумме импульсов его отдельных элементов.

Изменение импульса системы тел. Закон сохранения импульса

При рассмотрении любой механической задачи мы интересуемся движением определенного числа тел. Совокупность тел, движение которой мы изучаем, называется механической системой или просто системой.

Изменение импульса системы тел

Рассмотрим систему, состоящую из трех тел. Это могут быть три звезды, испытывающие воздействие со стороны соседних космических тел. На тела системы действуют внешние силы \(~\vec F_i\) (i - номер тела; например, \(~\vec F_2\) - это сумма внешних сил, действующих на тело номер два). Между телами действуют силы \(~\vec F_{ik}\) называемые внутренними силами (рис. 1). Здесь первая буква i в индексе означает номер тела, на которое действует сила \(~\vec F_{ik}\) , а вторая буква k означает номер тела, со стороны которого действует данная сила. На основании третьего закона Ньютона

\(~\vec F_{ik} = - \vec F_{ki}\) . (5)

Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если за малый промежуток времени сила заметно не меняется, то для каждого тела системы можно записать изменение импульса в форме уравнения (3):

\(~\Delta (m_1 \vec \upsilon_1) = (\vec F_{12} + \vec F_{13} + \vec F_1) \Delta t\) , \(~\Delta (m_2 \vec \upsilon_2) = (\vec F_{21} + \vec F_{23} + \vec F_2) \Delta t\) , (6) \(~\Delta (m_3 \vec \upsilon_3) = (\vec F_{31} + \vec F_{32} + \vec F_3) \Delta t\) .

Здесь в левой части каждого уравнения стоит изменение импульса тела \(~\vec p_i = m_i \vec \upsilon_i\) за малое время Δt . Более подробно\[~\Delta (m_i \vec \upsilon_i) = m_i \vec \upsilon_{ik} - m_i \vec \upsilon_{in}\] где \(~\vec \upsilon_{in}\) - скорость в начале, а \(~\vec \upsilon_{ik}\) - в конце интервала времени Δt .

Сложим левые и правые части уравнений (6) и покажем, что сумма изменений импульсов отдельных тел равна изменению суммарного импульса всех тел системы, равного

\(~\vec p_c = m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + m_3 \vec \upsilon_3\) . (7)

Действительно,

\(~\Delta (m_1 \vec \upsilon_1) + \Delta (m_2 \vec \upsilon_2) + \Delta (m_3 \vec \upsilon_3) = m_1 \vec \upsilon_{1k} - m_1 \vec \upsilon_{1n} + m_2 \vec \upsilon_{2k} - m_2 \vec \upsilon_{2n} + m_3 \vec \upsilon_{3k} - m_3 \vec \upsilon_{3n} =\) \(~=(m_1 \vec \upsilon_{1k} + m_2 \vec \upsilon_{2k} + m_3 \vec \upsilon_{3k}) -(m_1 \vec \upsilon_{1n} + m_2 \vec \upsilon_{2n} + m_3 \vec \upsilon_{3n}) = \vec p_{ck} - \vec p_{cn} = \Delta \vec p_c\) .

Таким образом,

\(~\Delta \vec p_c = (\vec F_{12} + \vec F_{13} + \vec F_{21} + \vec F_{23} + \vec F_{31} + \vec F_{32} + \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3) \Delta t\) . (8)

Но силы взаимодействия любой пары тел в сумме дают нуль, так как согласно формуле (5)

\(~\vec F_{12} = - \vec F_{21} ; \vec F_{13} = - \vec F_{31} ; \vec F_{23} = - \vec F_{32}\) .

Поэтому изменение импульса системы тел равно импульсу внешних сил:

\(~\Delta \vec p_c = (\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3) \Delta t\) . (9)

Мы пришли к важному выводу:

импульс системы тел могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы пропорционально сумме внешних сил и совпадает с ней по направлению. Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы.

Уравнение (9) справедливо для любого интервала времени, если сумма внешних сил остается постоянной.

Закон сохранения импульса

Из уравнения (9) вытекает чрезвычайно важное следствие. Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то равно нулю и изменение импульса системы\[~\Delta \vec p_c = 0\] . Это означает, что, какой бы интервал времени мы ни взяли, суммарный импульс в начале этого интервала \(~\vec p_{cn}\) и в его конце \(~\vec p_{ck}\) один и тот же\[~\vec p_{cn} = \vec p_{ck}\] . Импульс системы остается неизменным, или, как говорят, сохраняется:

\(~\vec p_c = m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + m_3 \vec \upsilon_3 = \operatorname{const}\) . (10)

Закон сохранения импульса формулируется так:

если сумма внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, то импульс системы сохраняется.

Тела могут только обмениваться импульсами, суммарное же значение импульса не изменяется. Надо только помнить, что сохраняется векторная сумма импульсов, а не сумма их модулей.

Как видно из проделанного нами вывода, закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой или изолированной. В замкнутой системе тел импульс сохраняется. Но область применения закона сохранения импульса шире: если даже на тела системы действуют внешние силы, но их сумма равна нулю, импульс системы все равно сохраняется.

Полученный результат легко обобщается на случай системы, содержащей произвольное число N тел:

\(~m_1 \vec \upsilon_{1n} + m_2 \vec \upsilon_{2n} + m_3 \vec \upsilon_{3n} + \ldots + m_N \vec \upsilon_{Nn} = m_1 \vec \upsilon_{1k} + m_2 \vec \upsilon_{2k} + m_3 \vec \upsilon_{3k} + \ldots + m_N \vec \upsilon_{Nk}\) . (11)

Здесь \(~\vec \upsilon_{in}\) - скорости тел в начальный момент времени, а \(~\vec \upsilon_{ik}\) - в конечный. Так как импульс - величина векторная, то уравнение (11) представляет собой компактную запись трех уравнений для проекций импульса системы на координатные оси.

Когда выполняется закон сохранения импульса?

Все реальные системы, конечно, не являются замкнутыми, сумма внешних сил довольно редко может оказаться равной нулю. Тем не менее в очень многих случаях закон сохранения импульса можно применять.

Если сумма внешних сил не равна нулю, но равна нулю сумма проекций сил на какое-то направление, то проекция импульса системы на это направление сохраняется. Например, система тел на Земле или вблизи ее поверхности не может быть замкнутой, так как на все тела действует сила тяжести, которая изменяет импульс по вертикали согласно уравнению (9). Однако вдоль горизонтального направления сила тяжести не может изменять импульс, и сумма проекций импульсов тел на горизонтально направленную ось будет оставаться неизменной, если действием сил сопротивления можно пренебречь.

Кроме того, при быстрых взаимодействиях (взрыв снаряда, выстрел из орудия, столкновения атомов и т. п.) изменение импульсов отдельных тел будет фактически обусловлено только внутренними силами. Импульс сис-темы сохраняется при этом с большой точностью, ибо такие внешние силы, как сила тяготения и сила трения, зависящая от скорости, заметно не изменяет импульса системы. Они малы по сравнению с внутренними силами. Так, скорость осколков снаряда при взрыве в зависимости от калибра может изменяться в пределах 600 - 1000 м/с. Интервал времени, за который сила тяжести смогла бы сообщить телам такую скорость, равен

\(~\Delta t = \frac{m \Delta \upsilon}{mg} \approx 100 c\)

Внутренние же силы давления газов сообщают такие скорости за 0,01 с, т.е. в 10000 раз быстрее.

Реактивное движение. Уравнение мещерского. Реактивная сила

Под реактивным движением понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела,

например при истечении продуктов сгорания из сопла реактивного летательного аппарата. При этом появляется так называемая реактивная сила, сообщающая телу ускорение.

Наблюдать реактивное движение очень просто. Надуйте детский резиновый шарик и отпустите его. Шарик стремительно взовьется вверх (рис. 2). Движение, правда, будет кратковременным. Реактивная сила действует лишь до тех пор, пока продолжается истечение воздуха.

Главная особенность реактивной силы состоит в том, что она возникает без какого-либо взаимодействия с внешними телами. Происходит лишь взаимодействие между ракетой и вытекающей из нее струей вещества.

Сила же, сообщающая ускорение автомобилю или пешеходу на земле, пароходу на воде или винтовому самолету в воздухе, возникает только за счет взаимодействия этих тел с землей, водой или воздухом.

При истечении продуктов сгорания топлива они за счет давления в камере сгорания приобретают некоторую скорость относительно ракеты и, следовательно, некоторый импульс. Поэтому в соответствии с законом сохранения импульса сама ракета получает такой же по модулю импульс, но направленный в противоположную сторону.

Масса ракеты с течением времени убывает. Ракета в полете является телом переменной массы. Для расчета ее движения удобно применить закон сохранения импульса.

Уравнение Мещерского

Выведем уравнение движения ракеты и найдем выражение для реактивной силы. Будем считать, что скорость вытекающих из ракеты газов относительно ракеты постоянна и равна \(~\vec u\) . Внешние силы на ракету не действуют: она находится в космическом пространстве вдали от звезд и планет.

Пусть в некоторый момент времени скорость ракеты относительно инерциальной системы, связанной со звездами, равна \(~\vec \upsilon\) (рис. 3), а масса ракеты равна М . Через малый интервал времени Δt масса ракеты станет равной

\(~M_1 = M - \mu \Delta t\) ,

где μ - расход топлива (расходом топлива называется отношение массы сгоревшего топлива ко времени его сгорания).

За этот же промежуток времени скорость ракеты изменится на \(~\Delta \vec \upsilon\) и станет равной \(~\vec \upsilon_1 = \vec \upsilon + \Delta \vec \upsilon\) . Скорость истечения газов относительно выбранной инерциальной системы отсчета равна \(~\vec \upsilon + \vec u\) (рис. 4), так как до начала сгорания топливо имело ту же скорость, что и ракета.

Запишем закон сохранения импульса для системы ракета - газ:

\(~M \vec \upsilon = (M - \mu \Delta t)(\vec \upsilon + \Delta \vec \upsilon) + \mu \Delta t(\vec \upsilon + \vec u)\) .

Раскрыв скобки, получим:

\(~M \vec \upsilon = M \vec \upsilon - \mu \Delta t \vec \upsilon + M \Delta \vec \upsilon - \mu \Delta t \Delta \vec \upsilon + \mu \Delta t \vec \upsilon + \mu \Delta t \vec u\) .

Слагаемым \(~\mu \Delta t \vec \upsilon\) можно пренебречь по сравнению с остальными, так как оно содержит произведение двух малых величин (это величина, как говорят, второго порядка малости). После приведения подобных членов будем иметь:

\(~M \Delta \vec \upsilon = - \mu \Delta t \vec u\) или \(~M \frac{\Delta \vec \upsilon}{\Delta t} = - \mu \vec u\) . (12)

Это одно из уравнений Мещерского для движения тела переменной массы, полученное им в 1897 г.

Если ввести обозначение \(~\vec F_r = - \mu \vec u\) , то уравнение (12) совпадет по форме записи со вторым законом Ньютона. Однако масса тела М здесь не постоянна, а убывает со временем из-за потери вещества.

Величина \(~\vec F_r = - \mu \vec u\) носит название реактивной силы . Она появляется вследствие истечения газов из ракеты, приложена к ракете и направлена противоположно скорости газов относительно ракеты. Реактивная сила определяется лишь скоростью истечения газов относительно ракеты и расходом топлива. Существенно, что она не зависит от деталей устройства двигателя. Важно лишь, чтобы двигатель обеспечивал истечение газов из ракеты со скоростью \(~\vec u\) при расходе топлива μ . Реактивная сила космических ракет достигает 1000 кН.

Если на ракету действуют внешние силы, то ее движение определяется реактивной силой и суммой внешних сил. В этом случае уравнение (12) запишется так:

\(~M \frac{\Delta \vec \upsilon}{\Delta t} = \vec F_r + \vec F\) . (13)

Реактивные двигатели

Широкое применение реактивные двигатели в настоящее время получили в связи с освоением космического пространства. Применяются они также для метеорологических и военных ракет различного радиуса действия. Кроме того, все современные скоростные самолеты оснащены воздушно-реактивными двигателями.

В космическом пространстве использовать какие-либо другие двигатели, кроме реактивных, невозможно: нет опоры (твердой, жидкой или газообразной), отталкиваясь от которой космический корабль мог бы получить ускорение. Применение же реактивных двигателей для самолетов и ракет, не выходящих за пределы атмосферы, связано с тем, что именно реактивные двигатели способны обеспечить максимальную скорость полета.

Реактивные двигатели делятся на два класса: ракетные и воздушно-реактивные .

В ракетных двигателях топливо и необходимый для его горения окислитель находятся непосредственно внутри двигателя или в его топливных баках.

На рисунке 5 показана схема ракетного двигателя на твердом топливе. Порох или какое-либо другое твердое топливо, способное к горению в отсутствие воздуха, помещают внутрь камеры сгорания двигателя.

При горении топлива образуются газы, имеющие очень высокую температуру и оказывающие давление на стенки камеры. Сила давления на переднюю стенку камеры больше, чем на заднюю, где расположено сопло. Вытекающие через сопло газы не встречают на своем пути стенку, на которую могли бы оказывать давление. В результате появляется сила, толкающая ракету вперед.

Суженная часть камеры - сопло служит для увеличения скорости истечения продуктов сгорания, что в свою очередь повышает реактивную силу. Сужение струи газа вызывает увеличение его скорости, так как при этом через меньшее поперечное сечение в единицу времени должна пройти такая же масса газа, что и при большем поперечном сечении.

Применяются также ракетные двигатели, работающие на жидком топливе.

В жидкостно-реактивных двигателях (ЖРД) в качестве горючего можно использовать керосин, бензин, спирт, анилин, жидкий водород и др., а в качестве окислителя, необходимого для горения, - жидкий кислород, азотную кислоту, жидкий фтор, пероксид водорода и др. Горючее и окислитель хранятся отдельно в специальных баках и с помощью насосов подаются в камеру, где при сгорании топлива развивается температура до 3000 °С и давление до 50 атм (рис. 6). В остальном двигатель работает так же, как и двигатель на твердом топливе.

Раскаленные газы (продукты сгорания), выходя через сопло, вращают газовую турбину, приводящую в движение компрессор. Турбокомпрессорные двигатели установлены в наших лайнерах Ту-134, Ил-62, Ил-86 и др.

Реактивными двигателями оснащены не только ракеты, но и большая часть современных самолетов.

Успехи в освоении космического пространства

Основы теории реактивного двигателя и научное доказательство воз-можности полетов в межпланетном пространстве были впервые высказаны и разработаны русским ученым К.Э. Циолковским в работе «Исследование мировых пространств реактивными приборами».

К.Э. Циолковскому принадлежит также идея применения многоступенчатых ракет. Отдельные ступени, из которых составлена ракета, снабжаются собственными двигателями и запасом топлива. По мере выгорания топлива каждая очередная ступень отделяется от ракеты. Поэтому в дальнейшем на ускорение ее корпуса и двигателя топливо не расходуется.

Идея Циолковского о сооружении большой станции-спутника на орбите вокруг Земли, с которой будут стартовать ракеты к другим планетам Солнечной системы, еще не осуществлена, но нет сомнения в том, что рано или поздно такая станция будет создана.

В настоящее время становится реальностью пророчество Циолковского: «Человечество не останется вечно на Земле, но в погоне за светом и пространством сначала робко проникнет за пределы атмосферы, а затем завоюет себе все околосолнечное пространство».

Нашей стране принадлежит великая честь запуска 4 октября 1957 г. первого искусственного спутника Земли. Также впервые в нашей стране 12 апреля 1961 г. был осуществлен полет космического корабля с космонавтом Ю.А. Гагариным на борту.

Эти полеты были совершены на ракетах, сконструированных отечест-венными учеными и инженерами под руководством С.П. Королева. Большие заслуги в исследовании космического пространства имеют американские ученые, инженеры и астронавты. Два американских астронавта из экипажа космического корабля «Аполлон-11» - Нейл Армстронг и Эдвин Олдрин - 20 июля 1969 г. впервые совершили посадку на Луну. На космическом теле Солнечной системы человеком были сделаны первые шаги.

С выходом человека в космос не только открылись возможности исследования других планет, но и представились поистине фантастические возможности изучения природных явлений и ресурсов Земли, о которых можно было только мечтать. Возникло космическое природоведение. Раньше общая карта Земли составлялась по крупицам, как мозаичное панно. Теперь снимки с орбиты, охватывающие миллионы квадратных километров, позволяют выбирать для исследования наиболее интересные участки земной поверхности, экономя тем самым силы и средства- Из космоса лучше различаются крупные геологические структуры: плиты, глубинные разломы земной коры - места наиболее вероятного залегания полезных ископаемых. Из космоса удалось обнаружить новый тип геологических образований кольцевые структуры, подобные кратерам Луны и Марса,

Сейчас на орбитальных комплексах разработаны технологии получения материалов, которые нельзя изготовить на Земле, а только в состоянии длительной невесомости в космосе. Стоимость этих материалов (сверхчистые монокристаллы и др.) близка к затратам на запуск космических аппаратов.

Литература

Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др.; Под ред. Г.Я. Мякишева. - М.: Дрофа, 2002. - 496 с.

Импульс силы и импульс тела

Как было показано, второй закон Ньютона может быть записан в виде

Ft=mv-mv o =p-p o =D p.

Векторную величину Ft, равную произведению силы на время ее действия, называют импульсом силы . Векторную величину р=mv, равную произведению массы тела на его скорость, называют импульсом тела .

В СИ за единицу импульса принят импульс тела массой 1 кг, движущегося со скоростью 1 м/с, т.е. единицей импульса является килограммметр в секунду (1 кг·м/с).

Изменение импульса тела D p за время t равно импульсу силы Ft, действующей на тело в течение этого времени.

Понятие импульса является одним из фундаментальных понятий физики. Импульс тела является одной из величин, способных при определенных условиях сохранять свое значение неизменным (но модулю, и по направлению).

Сохранение полного импульса замкнутой системы

Замкнутой системой называют группу тел, не взаимодействующих ни с какими другими телами, которые не входят в состав этой группы. Силы взаимодействия между телами, входящими в замкнутую систему, называют внутренними . (Внутренние силы обычно обозначают буквой f).

Рассмотрим взаимодействие тел внутри замкнутой системы. Пусть два шара одинакового диаметра, изготовленные из разных веществ (т. е. имеющие разные массы), катятся по идеально гладкой горизонтальной поверхности и сталкиваются друг с другом. При ударе, который мы будем считать центральным и абсолютно упругим, изменяются скорости и импульсы шаров. Пусть масса первого шара m 1 , его скорость до удара V 1 , а после удара V 1 "; масса второго шара m 2 , его скорость до удара v 2 , после удара v 2 ". Согласно третьему закону Ньютона, силы взаимодействия между шарами равны по модулю и противоположны по направлению, т.е. f 1 =-f 2 .

Согласно второму закону Ньютона, изменение импульсов шаров в результате их соударения равно импульсам сил взаимодействия между ними, т. е.

m 1 v 1 "-m 1 v 1 =f 1 t (3.1)

m 2 v 2 "-m 2 v 2 =f 2 t (3.2)

где t - время взаимодействия шаров.
Почленно сложив выражения (3.1) и (3.2), найдем, что

m 1 v 1 "-m 1 v 1 +m 2 v 2 "-m 2 v 2 =0.

Следовательно,

m 1 v 1 "+m 2 v 2 "=m 1 v 1 +m 2 v 2

или иначе

p 1 "+p 2 "=p 1 +p 2 . (3.3)

Обозначим р 1 "+р 2 "=р" и р 1 +р 2 =p.
Векторную сумму импульсов всех тел, входящих в систему, называют полным импульсом этой системы . Из (3.3) видно, что р"=р, т.е. р"-р=D р=0, следовательно,

p=p 1 +p 2 =const.

Формула (3.4) выражает закон сохранения импульса в замкнутой системе , который формулируют так: полный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Иными словами, внутренние силы не могут изменить полного импульса системы ни по модулю, ни по направлению.

Изменение полного импульса незамкнутой системы

Группу тел, взаимодействующих не только между собой, но и с телами, не входящими в состав этой группы, называют незамкнутой системой . Силы, с которыми на тела данной системы действуют тела, не входящие в эту систему, называют внешними (обычно внешние силы обозначают буквой F).

Рассмотрим взаимодействие двух тел в незамкнутой системе. Изменение импульсов данных тел происходит как под действием внутренних сил, так и под действием внешних сил.

Согласно второму закону Ньютона, изменения импульсов рассматриваемых тел у первого и второго тел составляют

D р 1 =f 1 t+F 1 t (3.5)

D р 2 =f 2 t+F 2 t (3.6)

где t - время действия внешних и внутренних сил.
Почленно сложив выражения (3.5) и (3.6), найдем, что

D (p 1 +p 2)=(f 1 +f 2)t +(F 1 +F 2)t (3.7)

В этой формуле р=р 1 +р 2 - полный импульс системы, f 1 +f 2 =0 (так как по третьему закону Ньютона (f 1 =-f 2), F 1 +F 2 =F - равнодействующая всех внешних сил, действующих на тела данной системы. С учетом сказанного формула (3.7) принимает вид

D р=Ft. (3.8)

Из (3.8) видно, что полный импульс системы изменяется только под действием внешних сил. Если же система замкнутая, т. е. F=0, то D р=0 и, следовательно, р=const. Таким образом, формула (3.4) является частным случаем формулы (3.8), которая показывает, при каких условиях полный импульс системы сохраняется, а при каких - изменяется.

Реактивное движение.
Значение работ Циолковского для космонавтики

Движение тела, возникающее вследствие отделения от него части его массы с некоторой скоростью, называют реактивным .

Все виды движения, кроме реактивного, невозможны без наличия внешних для данной системы сил, т. е. без взаимодействия тел данной системы с окружающей средой, а для осуществления реактивного движения не требуется взаимодействия тела с окружающей средой. Первоначально система покоится, т. е. ее полный импульс равен нулю. Когда из системы начинает выбрасываться с некоторой скоростью часть ее массы, то (так как полный импульс замкнутой системы по закону сохранения импульса должен оставаться неизменным) система получает скорость, направленную в противо-положную сторону. Действительно, так как m 1 v 1 +m 2 v 2 =0, то m 1 v 1 =-m 2 v 2 , т. е.

v 2 =-v 1 m 1 /m 2 .

Из этой формулы следует, что скорость v 2 , получаемая системой с массой m 2 , зависит от выброшенной массы m 1 и скорости v 1 ее выбрасывания.

Тепловой двигатель, в котором сила тяги, возникающая за счет реакции струи вылетающих раскаленных газов, приложена непосредственно к его корпусу, называют реактивным. В отличие от других транспортных средств устройство с реактивным двигателем может двигаться в космическом пространстве.

Основоположником теории космических полетов является выдающийся русский ученый Циолковский (1857 - 1935). Он дал общие основы теории реактивного движения, разработал основные принципы и схемы реактивных летательных аппаратов, доказал необходимость использования многоступенчатой ракеты для межпланетных полетов. Идеи Циолковского успешно осуществлены в СССР при постройке искусственных спутников Земли и космических кораблей.

Основоположником практической космонавтики является советский ученый академик Королев (1906 - 1966). Под его руководством был создан и запущен первый в мире искусственный спутник Земли, состоялся первый в истории человечества полет человека в космос. Первым космонавтом Земли стал советский человек Ю.А. Гагарин (1934 - 1968).

Вопросы для самоконтроля:

Как записывают второй закон Ньютона в импульсной форме?
Что называют импульсом силы? импульсом тела?
Какую систему тел называют замкнутой?
Какие силы называют внутренними?
На примере взаимодействия двух тел в замкнутой системе покажите, как устанавливают закон сохранения импульса. Как его формулируют?
Что называют полным импульсом системы?
Могут ли внутренние силы изменить полный импульс системы?
Какую систему тел называют незамкнутой?
Какие силы называют внешними?
Установите формулу, показывающую, при каких условиях полный импульс системы изменяется, а при каких - сохраняется.
Какое движение называют реактивным?
Может ли оно происходить без взаимодействия движущегося тела с окружающей средой?
На каком законе основано реактивное движение?
Каково значение работ Циолковского для космонавтики?

Изучив законы Ньютона, мы видим, что с их помощью можно решить основные задачи механики, если нам известны все силы, действующие на тело. Есть ситуации, в которых определить эти величины затруднительно или вообще невозможно. Рассмотрим несколько таких ситуаций. При столкновении двух биллиардных шаров или автомобилей мы можем утверждать о действующих силах, что это их природа, здесь действуют силы упругости. Однако ни их модулей, ни их направлений мы точно установить не сможем, тем более что эти силы имеют крайне малое время действия. При движении ракет и реактивных самолетов мы также мало что можем сказать о силах, приводящих указанные тела в движение. В таких случаях применяются методы, позволяющие уйти от решения уравнений движения, а сразу воспользоваться следствиями этих уравнений. При этом вводятся новые физические величины. Рассмотрим одну из этих величин, называемую импульсом тела

Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.

Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.

Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:

1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.

2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.

Согласно второму закону Ньютона, можем записать:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.

Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.

Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:

то попытка такого решения привела бы к ошибке.

Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.

Несмотря на то что второй закон Ньютона в виде «равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение» позволяет решить довольно широкий класс задач, существуют случаи движения тел, которые не могут быть полностью описаны этим уравнением. В таких случаях необходимо применять другую формулировку второго закона, связывающую изменение импульса тела с импульсом равнодействующей силы. Кроме того, существует ряд задач, в которых решение уравнений движения является математически крайне затруднительным либо вообще невозможным. В таких случаях нам полезно использовать понятие импульса.

С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела мы можем вывести второй и третий закон Ньютона.

Второй закон Ньютона выводится из соотношения импульса силы и импульса тела.

Импульс силы равен изменению импульса тела:

Произведя соответствующие переносы, мы получим зависимость силы от ускорения, ведь ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

Подставив значения в нашу формулу, получим формулу второго закона Ньютона:

Для выведения третьего закона Ньютона нам понадобится закон сохранения импульса.

Векторы подчеркивают векторность скорости, то есть то, что скорость может изменяться по направлению. После преобразований получим:

Так как промежуток времени в замкнутой системе был величиной постоянной для обоих тел, мы можем записать:

Мы получили третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Векторы этих сил направлены навстречу друг к другу, соответственно, модули этих сил равны по своему значению.

Список литературы